柯西不等式是数学中的一种重要不等式，它在数学分析、线性代数、概率论等领域都有广泛的应用。它的公式有以下几种形式：
1. 点积形式
对于两个n维向量a和b，它们的点积可以表示为：
a·b = |a||b|cosθ
其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。柯西不等式指出，对于任意两个向量a和b，它们的点积满足以下不等式：
|a·b| ≤ |a||b|
等号成立的条件是a和b共线或其中一个向量为零向量。
2. 积分形式
对于两个可积函数f(x)和g(x)，它们的积分可以表示为：
∫f(x)g(x)dx
柯西不等式指出，对于任意两个可积函数f(x)和g(x)，它们的积分满足以下不等式：
|∫f(x)g(x)dx| ≤ (∫f(x)²dx)^(1/2) * (∫g(x)²dx)^(1/2)
等号成立的条件是f(x)和g(x)成比例或其中一个函数为零函数。
3. 矩阵形式
对于两个n阶矩阵A和B，它们的乘积可以表示为：
AB
柯西不等式指出，对于任意两个n阶矩阵A和B，它们的乘积的每个元素都满足以下不等式：
|(AB)ij| ≤ ∑|Ai||Bj|
其中，∑表示对所有的k求和，|Ai|表示矩阵A的第i行的所有元素的绝对值之和，|Bj|表示矩阵B的第j列的所有元素的绝对值之和。
以上就是柯西不等式的三种常见形式及其公式。柯西不等式在数学中有着广泛的应用，例如在证明数学定理、优化问题、概率论等方面都有着重要的作用。
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